Titreşim Ve Dinamik Analiz

Bir yapı üzerine yapılan yükleme altında hareket edecektir. Eğer yükleme bir frekansa bağlı olarak değişiyor ve bu frekansta yapının doğal frekansının 1/3'den daha düşük ise problem statik problem olarak sınıflandırılabilir. Diğer yandan yükleme yüksek frekanslı veya rastgele olarak değişiyorsa veya yük aniden uygulanıyorsa, problem için dinamik analiz gerekmektedir. Dinamik analizde de statik analizde olduğu gibi rijitlik matrisi kullanılmakta, fakat bir kütle ve bir sönüm matrisine de analiz için gerek duyulmaktadır.

En basit bir titreşim sistemi tek serbestlik dereceli bir yay-kütle sistemidir. Burada kütlenin hareketi yatay doğrultuda tek bir koordinatla tamamıyla tarif edilmiş olmaktadır. (Sekil 1). Sistemin hareketi Newton'un 2. hareket kanunu ile tarif edilmektedir.

Sekil 1 Yay-kütle sistemi

Newton'un ikinci kanununu uygularsak F = ma, sistemin hareket denklemi sönümsüz titreşim için aşağıdaki şekli alır.

r – ku = mü   veya   ku + mü = r (4.7)

Burada r dışardan etkiyen ve zamana bağlı olanak değişen yüklemeyi göstermektedir. Eğer titreşim sistemi için sönüm kuvvetlerini de hesaba katarsak (4.7) deki denklem aşağıdaki formda yazılmalıdır.

r – ku – cü = mü veya ku + cü + mü = r (4.8)

Burada m kütleyi, c ise sönüm katsayısını göstermektedir.

Eğer bir sonlu eleman modellemesinde olduğu gibi çok sayıda serbestlik derecesi ile ilgileniyorsak (4.8) deki denklemi matris formunda yazmalıyız

[K].[D] + [C].[D] + [M].[D] = [R] (4.9)

Bu denklemde [K] rijitlik matrisini, [C] sönüm matrisini, [M] kütle matrisini ve [R] kuvvet vektörünü temsil etmektedir. Bir dinamik analizde bilinmeyen [D] deplasman vektörünün, [ D ] hız vektörünün ve [ D ] ivme vektörünün hesaplanması istenmektedir.

Dinamik analizde tüm matris sisteminin çözümü yerine çok daha az sayıda serbestlik derecesi kullanılarak, yani daha küçük bir matrisle çözüm yapılabilir. Biz bu işleme matrisin indirgenmesi işlemi diyoruz. Bu şekilde dinamik analizler daha az bilgisayar kapasitesi ile gerçeklenebilir. Burada matriste kullanılacak aktif serbestlik derecelerinin seçimi özel bir önem kazanmaktadır. Bu serbestlik dereceleri genelde büyük deplasmanlı nodlardan seçilmesi uygun olacaktır. Çoğu ticari sonlu eleman programlarında bu serbestlik otomatik olarak seçilebilmekte ve "master" serbestlik dereceleri otomatik olarak isimlendirilmektedir. En yaygın olarak kullanılan indirgeme metodu Guyan metodudur. Master serbestlik dereceleri için aşağıdaki önerilere dikkat edilmelidir.

• master serbestlik dereceleri için kütle/rijitlik oranı büyük olmalıdır.

• master serbestlik derecelerinin seçimi yapının sadece bir bölgesinden değil, tüm bölgelerinden yapılmalıdır. Aksi halde bazı modlar iyi bazı modlar ise kötü olarak temsil edilecektir.

• Master'lar beklenen hareket doğrultusunda seçilmelidir.

Dinamik yapı analiz, statik analize göre daha fazla çalışma gerektiren bir analiz türüdür. Yükleme zamanın bir fonksiyonudur. Dinamik analizde çeşitli metodlar aynı amaca ulaşılabileceği gibi, aynı model için değişik amaçlar için analizler gerçeklenebilir. Dinamik analizin diğer bir zorluğu da sonuçların kontrolü için gerekli adımlardan biri olan yapının davranışını mevcut şartlar altında kestirmektir (statik analiz için bu çok daha kolay şekilde yapılabilir). Diğer yandan yapı statik ve dinamik yükler altında oldukça farklı tepkiler verebilir.

Analizden önce dinamik analizin gerekli olup olmadığına karar vermek gerekmektedir. Eğer yapı frekansa bağlı bir kuvvetin altında zorlanıyorsa, zorlayıcı frekans yapının en düşük doğal frekansıyla karşılaştırılır ve doğal frekans zorlayıcı frekansın 1/3'ünden daha düşük ise dinamik analize gerek yoktur, problem statik analiz

İle çözümlenebilir. Genellikle böyle durumlarda dinamik yüke verilen tepki değeri, dinamik yükün genliğine sahip statik yükleme altında elde edilecek değerin %10’u daha fazladır. Eğer bir dinamik analiz yapılmasına karar verildiyse bazı sorulara cevap verilmesi gerekecektir. Bunlar şöyledir; "Analizin hedefı nedir ?", "Hangi basitleştirmeleri yapmak mümkündür?", "Malzeme ve geometrik non-lineerlikler hesaba alınmalı mıdır?", "Hangi frekans değerleri yüklemede göz önüne alınmalıdır?", "Hangi frekanslardaki tepkiler yapı için önemlidir?", "Hangi hesaplama yöntemleri problem için uygundur?".

Dinamik analizlerde ilk adım olarak genelde doğal frekans değerleri ve bu frekanslara ait şekil değiştirme modları hesaplanmaktadır. Bu değerler yapının her hangi bir zorlayıcı kuvvet altındaki davranışını tespit ederler. Bu modları inceleyerek zorlayıcı kuvvetlerin yapıya hangi modlarda daha çok enerji verebileceğini ve yapının hangi noktasındaki tepkiye hangi modun daha büyük katkı yapacağını görebiliriz.