Bilgisayar Destekli Tasarim ve Analizler

 

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE STATİK ANALİZ
  1. Giriş

Bu çalışma, 2 serbestlik derecesine sahip kiriş elemanlarla birbirine bağlanmış bir sistem üzerinde meydana gelen deformasyon ve gerilmeleri dağılımı tespit edilebilmesi amacıyla yapılmıştır. Burada çözüm yöntemi olarak, Sonlu Elemanlar Metodu kullanılmıştır.

Sonlu Elemanlarla Yöntemi ile problemin çözümünde izlenilen adımlar aşağıda belirtilmiştir.

  1. Sonlu elemanlar ağının oluşturulması
  2. Her bir eleman için direngenlik matrislerinin oluşturulması
  3. Tüm yapıya ait direngenlik matrislerinin bulunması
  4. Sınır koşullarının tanımlanması ve kuvvet vektörünün bulunması
  5. Elde edilen denklemlerin çözülerek sonuçların elde edilmesi

2. Modelleme:

Şekil 1 de görülen kiriş sisteminde, her iki mafsal arasındaki mesafede tek bir eleman olacak şekilde çözüm yoluna gidilmiştir. Bu sebepten dolayı oluşan hata göz ardı edilmiştir. Eleman uzunluğu genişliğine göre 1/10 oranından çok fazla olduğu için kullanılan yöntemlerden kaynaklanan hatalar kabul edilmiştir.

Şekil 1. Kiriş Sisteminin Sonlu Elemanlar Modeli

Elemanlara bölünen sistemin birbirlerine bağlanması Şekil 2 de gösterilmiştir. Çözüm sırasında Şekil 2’deki eleman ve düğüm numaraları göz önüne alınarak hesaplama yapılmıştır. Şekildeki sistem 2 serbestlik derecesine sahip 7 tane elemandan ve 5 tane düğüm noktasından meydana gelmektedir.

Şekil 2. Kiriş Sistemi Üzerinde Kullanılan Eleman ve Düğün Noktalarının Yerleri

Burada yapılacak analizler için kullanılan malzeme özellikleri Tablo-1’de gösterilmiştir.

Tablo 1. Malzeme Özellikleri
 

Değeri

Birim

E (Elastisite Modülü)

2.1 E11

N/ m²

n (Poisson Oranı)

0.3

-

Kirişlerin boyutları ise;

L = 1 m (Kiriş uzunluğu)

D = 20 mm (kiriş çapı)

  1. Her bir eleman için direngenlik matrislerinin oluşturulması

Bu aşamada her bir elemana ait direngenlik matrisleri çıkarılmıştır. Bu denklemlerin çıkarılmasında 1 numaralı denklem kullanılmıştır.

( 1 )

F : Kuvvet matrisi

K : Direngenlik matrisi

U : Yer değiştirmeler matrisi

g : Global eksen takımını ifade eden sembol

Kiriş elemanlar için elde edilen genel kiriş denklemi 3 numaralı denklem ile verilmektedir.

( 3 )

 

3 numaralı denklem her bir elemanda 2 serbestlik derecesine (x ve y yönlerinde ötelemeye sahip) elemanlar için düzenlenirse;

            ( 4 )

 

bütün elemanların boyutları ve uzunlukları birbirine eşit olduğuna göre, 7 eleman içinde kendi eksenlerine göre oluşturulacak direngenlik matrisi de birbirinin aynı olacaktır (tablo 2).

konumu gereği global eksene göre oluşan her eleman için direngenlik matrisleri ise 2 numaralı denklemden;

 

tablo 2. Direngenlik Matrisi

Her bir eleman global eksene göre farklı bir açı ile bulunduğundan dolayı buların global eksene göre direngenlik matrislerinin yazılması gerekir. Yukarıda oluşturulan direngenlik matrisi elemanın kendi eksenine göre oluşturulduğundan, bu matris global eksen takımına göre yazmak için elemanların x eksenine göre yaptığı açı göz önüne alınarak T transpoze dönüşüm matrisi kullanılır. Elemanların x eksene göre yapmış olduğu açılar tablo 3’te verilmektedir.

Eleman Numarası

( i )

X ekseni ile yaptığı

Açı ( a )

1

60

2

0

3

300

4

0

5

60

6

0

7

300

Tablo 3. Elemanların x Ekseni ile Yaptığı Açı

Dönüşüm matrisi ise;

T: Dönüşüm Matrisi

 global eksene göre direngenlik matrisi ise;

( )

K : Direngenlik matrisi

T : Transformasyon matrisi

T : Transpoze

İle bulunabilir.

Bu matrislerin çarpımı sonucu oluşan direngenlik matrisleri tablo 4.1.-Tablo 4.7’de görülmektedir.

 
  1. Tüm Yapıya Ait Direngenlik Matrislerinin Bulunması

Bir önceki adımda her bir eleman için ayrı ayrı oluşturulan direngenlik matrisleri bu adımda tek bir matris haline getirilmiştir. Global eksene göre oluşturulan direngenlik matrislerinin (tüm sistem için) toplanması sonucu oluşan direngenlik matrisi tablo 5.’te görülmektedir.
  1. Sınır Koşullarının Tanımlanması ve Kuvvet Vektörünün Bulunması

Verilen sistemde 1 numaralı düğüm noktasının x ve y yönündeki serbestlikleri tutulur. Ayrıca, 5 numaralı düğüm noktası kayar mafsal ile bağlandığı için y yönünde hareket edemez. Bundan dolayı y yönündeki serbestliği de tutulur. Bu durumda bu kısıtlanmış olan değerler genel direngenlik matrisinden satır ve sütunları silinir. Oluşan yeni direngenlik matrisi 7x7 matris boyutlarında olur.

Yapı üzerine uygulanan yük ise 2 numaralı düğüm noktası üzerinde ve (-y ) yönünde ve 1000 N şiddetindedir. Bu durum da kuvvet vektörü;

olarak ortaya çıkar.
  1. Elde Edilen Denklemlerin Çözülerek Sonuçların Elde Edilmes

Sınır şartlarının uygulanmasıyla genel direngenlik matrisi 10x10 boyutundan 7x7 boyutuna indirgenmiş olur. Kuvvet vektörü ise 10x1 boyutundan 7x1 boyutuna indirgenmiştir. 1 numaralı denklem kullanılarak denklem sistemi çözüldüğün de elde edilen sonuçlar tablo 5’te verilmiştir.

Tablo 6 : Yapılan Analiz Sonucunda Elde Edilen Deformasyon Değerleri

 

x

Y

1

0

0

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

0