4.3.2 Eleman Seçimi

Sonlu elemanlar ile modelleme aşamasında, "eleman tipi (çubuk, kabuk. v.s). eleman şekli (dörtgen, üçgen) ve eleman sayısı ne olmalı?", "ara nodlu elemanlara ihtiyaç var mı?" gibi bir takım soruların cevaplanması gerekmektedir. Bu soruların cevabı ancak analiz edilen yapının ve seçilen eleman tiplerinin davranışı hakkında bilgi sahibi olunduktan sonra cevaplanabilir. Örneğin, gerilme analizinde yapının bir bölgesindeki gerilme durumunu en iyi yansıtan eleman tipi o bölge için seçilmelidir. Aşağıda bazı eleman tipleri ve bunların kullanılabileceği mühendislik problem tipleri haklarında bilgi verilmektedir.

3D Kiriş elemanı genel amaçlı bir sonlu eleman tipi olup 3 boyutlu işlemi yapabilme kapasitesine sahiptir. Bu eleman tipi aynı zamanda uzay kiriş elemanı olarak da adlandırılmaktadır. Eleman uzayda iki adet nod ile tarif edilmektedir. Üçüncü bir nod ise serbestlik derecesine haiz olmayan ve eleman koordinat sistemini tarif etmek amacıyla kullanılmaktadır. Elemanın iki ucunu tespit eden iki adet nod için 12 adet serbestlik derecesi mevcuttur. Her bir nod 3 adet öteleme ve 3 adet dönme serbestliğine sahiptir. Eleman herhangi doğrultuda gelen kuvvet ve herhangi bir eksen etrafında dönme zorlamasına direnç gösterecek kapasiteye sahiptir. Elemanı tarif etmek için nodların koordinatına, elastisite modülüne (E), kayma modülüne (G), kesit alanına, kesit atalet momenti değerlerine, burulma sabitine (J) ve kiriş eksenine dik doğrultudaki deformasyon faktörlerine ihtiyaç vardır

u = a₁ + a₂x + a₃y (4.1)

v = a₄ + a₅ + a₇y (4.2)

Yukarıdaki deplasman bağıntılarından görüldüğü gibi deplasman alanı eleman içinde ve kenarlar boyunca lineerdir. Eleman sınırları içinde ise gerilme değerleri sabittir. Birbirine bağlı elemanlar arasında deplasman uyumluluğu (compatibility), bağlı iki nod noktası arasındaki lineer kenar deformasyon karakteristiği dolayısıyla sağlanmaktadır. Yapının bütün olarak kuvvet dengesi ise nod noktalarında sağlanır.

Şekil xxx Sabit Gerilmeli Üçgen Eleman

SGU elemanı sonlu eleman modellerinde küçük gerilme gradyeni karakteristiğine sahip bölgelerde iyi sonuç verecektir. Diğer durumlarda SGU elemanının kullanılması iyi sonuç vermeyecektir. Örneğin sadece eğilmeye maruz bir yapıyı SGU elemanlarıyla modellemek gerçek problem ile uyumsuz sonuçlar verecektir. SGU elemanlarının bu olumsuzlukları, daha sık bir eleman ağ yapısıyla kısmen giderilebilir.

u = a₁ + a₂ x + a₃ y + a₄ x² + a₅ xy + a₆ y² (4.3)

v = a₇ + a₈ x + a₉ y + a₁₀ x² + a₁₁ y + a₁₂ y² (4.4)

SGU elemanının aksine gerilme büyüklüğü LGU elemanı içerisinde x ve y koordinatları ile lineer olarak değişmektedir. Sadece eğilmeye maruz yapılar için LGU elemanlarıyla yapılan modellemelerde, deplasman ve gerilme alanları için çok iyi yaklaşımlar elde edilecekdir.

u = a₁ + a₂ x + a₃ y + a₄xy (4.5)

v = a₅ + a₆ x + a₇ y + a₈xy (4.6)

Burada elemanın çifte lineer diye isimlendirilmesi u ve v deplasman bağıntılarının iki lineer polinomun çarpımından oluşmasından dolayıdır.

Şekil xxx Dört Nodlu Çifte Lineer Dörtgen Eleman

Elemanın en önemli özelliği s_x değeri x- koordinatından bağımsızdır. Bu eleman tipi, örneğin ucundan yüklü konsol kirişlerin modellenmesinde uygun sonuç vermeyecektir

Bir genel kabuk eleman membran ve eğilme etkisini aynı anda temsil edebilmelidir. Örneğin dört nodlu basit bir dörtgen eleman tarif edilebilir. Elemanı tarif eden tüm nodlar aynı düzlem üzerinde olmayabilir. Bu da elemanda çarpılmaya neden olur. Elemanın çarpılması performansını olumsuz yönde etkiler. Ticari paket programlarda küçük miktarlarda çarpılmaya müsaade edilmektedir. Bu dört nodlu elemanın en büyük avantajı formülasyonunun basit olmasıdır. Genellikle az sayıda daha karışık bir eleman tipi kullanılması yerine, daha fazla sayıda basit bir eleman tipi kullanılması tavsiye edilmektedir. Dört kabuk elemanın en büyük dezavantajı düzgün eğrisel yüzeylerin düzlem elemanlarla veya az miktarda çarpılmış şekle sahip olan elemanla temsil edilmesidir. Kabuk teorisine dayanarak elde edilen eğrisel yüzeyli elemanlar düzlemsel elemanların yaratmış olduğu problemleri ortadan kaldırmaktadır. Fakat diğer yandan beraberinde başka zorlukları getirmektedir. Eğrisel elemanı tarif etmek için çok daha fazla geometrik bilgiye ihtiyacımız olmaktadır. Elemanın formülasyonu ise düzlemsel elemanlara nazaran çok daha zordur.

.

Çoğu ticari programda yer alan bu eleman tipi eğilme ve membrane yüklerini taşıyabilme özelliğine sahiptir. Eleman düzlemi içinde ve düzlemine dik doğrultudaki yüklemelere müsaade eder. Her nod, üç tanesi x, y, z- doğrultusunda öteleme ve üç tanesi de bu eksenler etrafında dönme serbestliği olmak üzere altı adet serbestlik derecesine sahiptir ( Şekil xxx). Eleman dört nod ile tarif edilmekte ve değişken kalınlığa müsaade edilebilmektedir. Değişken kalınlıklı elemanlar için kalınlık eleman içerisinde düzgün olarak değişmelidir. Bu eleman tipi plakların olduğu kadar düzgün eğrisel yüzeylerin modellenmesinde de kullanılmaktadır. Eğrisel yüzeylerde iyi bir yaklaşım elde edebilmek için fazla sayıda bu elemandan kullanılmalıdır. Formülasyonunun basit olması nedeniyle diğer tip elemanlara göre daha avantajlıdır.

Şekil xxx Dört nodlu ve dört kenarlı elastik eleman (x,y eksenleri eleman düzlemi içindedir).

• levha için sonlu deplasman, sonsuz gerilme değeri oluşur,
• iki veya üç boyutlu geometrik cisim için ise sonsuz deplasman ve gerilme değeri oluşur.

Bir tekil moment sadece öteleme serbestlik derecesine sahip bir noda uygulanamaz. Bu durumda tekil momentler eşlenik kuvvetler olarak temsil edilirler. Diğer yandan yayılı yükler nod noktalarına tekil yükler olarak uygulanırlar.

Sınır koşulları yapıların mekaniğinde mesnet şartları olarak da isimlendirilmektedir. Sonlu eleman modellemelerinde sınır koşulları (mesnet şartları) sık sık yanlış veya eksik olarak tanımlanmaktadır. Modellemede sınır koşullarına gerekli özen daima gösterilmelidir. Her ne kadar yapılan hata küçük gibi görülse de, sonuçlar üzerindeki etkisi oldukça büyük olacaktır. Örneğin Şekil xxx ‘de görülen ve iki ucu basit mesnetlenmiş kirişin sonlu elemanlar modelinde, elemanlar tarafsız ekseninden geçen çizgi üzerinde yer alırlar. Kiriş parçasının uçlarının yatay doğrultudaki hareketi sınırlandığı için, kiriş bu doğrultuda zorlanmaya maruz kalacaktır. Bu nedenle kirişin sonlu eleman modelinin uçları düşey bağlantılarla A ve B noktalarına bağlanır.

Şekil xxx İki ucu basit mesnetli kiriş

Sonlu elemanlar modelinde aktif olmayan serbestlik dereceleri çözüm işleminden önce sınırlandırılmalıdır. Bu sınırlandırılması gereken serbestlik derecesi modelin sınırda veya başka bir bölgesinde olabilir. Örneğin düzlem elemanlar nodlarda düzlem içinde iki doğrultudaki ötelemeye karşı direnç gösterirler. Fakat genel amaçlı bir sonlu elemanlar programı her bir noda üçü öteleme ve diğer üçü de dönme olmak üzere altı serbestlik derecesi atayacaktır. Rijidlik matrisinde tekillikleri önlemek amacıyla düzlem elemanlar için her noddaki üç dönme serbestliği ve eleman düzlemine dik doğrultudaki öteleme serbestliği kısıtlanmalıdır. Çünkü seçilen eleman tipi bu serbestlik dereceleri için direnç gösteremeyeceğinden, rijidlik matrisinde tekillikler oluşacak, bu da denklemlerin çözümünü zorlaştıracak veya imkansız hale getirecektir. Doğru bir modelleme için düzlem elemanların her bir nodu için üç serbestlik derecesi atanır. Sınır koşulları için ise yine sınırda yer alan nodlar için bu serbestlik derecelerinden bazılarının kısıtlanması gerekebilir.

Bazı durumlarda gerçek problem için sınır koşulları net olarak anlaşılır olmayabilir. Böyle durumlar için çözümün üst ve alt sınırlarını iki ayrı analizle saptamak fıziksel olarak daha anlamlı olabilir. Örneğin iki ucundan mesnetlenmiş üniform yüklü bir kirişin uçları dönmeye belli olmayan bir dereceye kadar kısıtlanmış olabilir. Böyle bir durum için kirişin uçları bir çözüm için basit mesnetli olarak kabul edilir, diğer bir analiz içinse tamamıyla tespit edilmiş olarak kabul edilerek problem çözülür: İki analizden elde edilen değerler aslında gerçek problem için alt ve üst sınırları göstermektedir.

Bir problemin sonlu elemanlar metoduyla çözümü için kaç adet eleman gereklidir? Böyle bir soruya cevap aramak için aynı problemi iki farklı modelle ayrı ayrı analiz edelim. İkinci analizde daha fazla sayıda eleman ile daha sık bir ağ kullandığımızı farz edelim. İkinci sonlu eleman modeli daha küçük bir ayrıklaştırma hatası verecektir. Ayrıca gerçek fıziksel objenin geometrisi daha iyi modellenmiş olacaktır. Eğer iki analiz neticesinde bulduğumuz sonuçlar arasında önemli bir fark yoksa, sonuçların yakınsamış olduğunu kabul edebiliriz.

Yazılımlarda genelde bir takım hatalar bulunabilir. Sonlu eleman paket programları oldukça büyük yazılımlar olup, devamlı düzeltmeler yapılmaktadır. Elde edilen hatalı sonuçlar için programı suçlamak kolay bir yol olmasına rağmen, hatalı sonuçlara genelde yanlış modellemeler neden olmaktadır. Doğru modelleme yapabilmek için ayrıklaştırma esnasında bir takım hususlara dikkat edilmesi gerekmektedir. Bu hususlar aşağıda sıralanmaya çalışılmıştır.

1. Sonlu elemanlar grid ağının mümkün olduğu kadar üniform olmasına dikkat edilmelidir. Fakat yüklemede ve yapının davranışında hızlı değişimlerin görüldüğü bölgelerde daha sık bir ağ yapısı için üniformluğun bozulmasına müsaade edilebilir.
2. Dört kenarlı elemanların üçgen elemana göre bir çok avantajı olması nedeniyle, dört kenarlı elemanlar daima üçgen elemanlara tercih edilmelidir. Fakat geometrinin ve/veya yüklemenin üçgen eleman gerektirdiği durumlarda bu kural bozulabilir.
3. Deplasman analizi için gerilme analizinde kullanıldığı kadar sık ağ yapısına gerek yoktur.
4. Geometride veya malzemede non-lineerliliği hesaba katan analizler için lineer analizlere kıyasla daha sık bir ağ yapısına ihtiyaç vardır.
5. Titreşim nodlarının hesabı doğal frekansların hesabına kıyasla daha sık ağ yapısı gerektirmektedir.
6. Nodların numaralandırılması mümkün olduğu kadar büyük deplasman bölgelerinden küçük deplasman bölgelerine doğru yapılmalıdır. Fakat genelde sonlu eleman paket programlarında sonuçlar numaralandırmadan etkilenmezler
7. Eğrisel yüzeylerin düzlemsel elemanlar ile tarif edilmesi durumunda yüzey normali etrafındaki dönme serbestliği kaldırılmalıdır. Aksi taktirde kötü koşullu bir matrisle uğraşılması gerekecektir.
8. Elemanların kenar uzunluk oranları (aspect ratio) eleman tipleri arasında değişiklik gösterse de, uzunluk oranı deplasman hesapları için 10'un altında,gerilme hesapları için ise 5'in altında kalmalıdır.
9. Yüksek mertebeden elemanlar için ara nodların dağılımı mümkün olduğu kadar üniform olmalıdır.
10. Sonlu eleman hesaplarının ilk kontrolü için yüklerin, kuvvetlerin ve reaksiyonların dengesinin kontrol edilmesi tavsiye edilmektedir.
11. Eğer analiz edilen yapı ve yükleme simetrik ise, hesaplamalarda bu avantaj kullanılmalıdır. Yani analiz için yapının yarısı veya dörtte biri modelleme için kullanılabilir. Fakat burkulma ve özdeğer problemlerinde dikkatli olunması gerekir. Çünkü anti-simetrik nodlar bu problemler için önemli olabilir.
12. Yüksek frekanslı tepkisel değerlerin önemli olmadığı dinamik analizler için. statik analizde kullanılana benzer bir ağ yapısı yeterli olacaktır.
13. Transient dinamik analizlerde eleman boyu, zaman adımı, integrasyon metodıı ve pulse süresi uyumlu olmalıdır.
14. Yüksek uzunluk oranlı dörtgen elemanlar, büyük açılı üçgen eleman gibi elemanlardan mümkün olduğu kadar sakınılması gerekmektedir.
15. Yakınsaklık analizinde orijinal mesh kullanılarak ağ sıkılaştırılmalıdır. Eğer farklı bir mesh kullanılırsa yakınsaklık analizine tekrar başlamak gerekecektir.
16. Yüksek ve düşük mertebeden elemanların birbirine bağlanması gerilmelerde düzensizliklere neden olacaktır.
17. Eleman boyutlarında hızlı değişiklikler mümkün olduğu kadar minimize edilmelidir
18. Anisotropik malzemeler için Poisson oranı açıkça tanımlanmalıdır. Ayrıca n, E ve G değerlerinin teorik limitlerinin aşılıp aşılmadığı kontrol edilmelidir.
19. Kompleks yapıların sonlu elemanlar metoduyla analizinde, tüm yapı göreceli olarak kaba bir ağ yapısıyla analiz edilir. Bu analiz sonuçları yapı içinde detaylı bilgi sahibi olmak istediğimiz bölge için sınır koşulu olarak kullanılarak, bu bölge daha sıkı bir ağ yapısı ile analiz edilebilir.

Günümüzde ticari sonlu eleman paket programları son derece yaygınlaşmıştır. Tecrübesiz bir kullanıcı bile bir takım sonuçlar üretip, son derece cazip grafıkler hazırlayabilir. Örneğin bir gerilme analizi için sonlu eleman modeli iyide olsa, kötüde olsa ehliyetsiz bir kullanıcı bile kolaylıkla gerilme konturları üretebilir. Kötü bir ağ yapısı, kötü seçilmiş eleman tipleri, doğru olmayan yükleme şekliyle yaratılan modeller bile dikkatsizce yapılan bir kontrolde gözden kaçabilecek uygunlukta sonuçlar verebilir.

Ehliyetli bir kullanıcı ancak mevcut problemin fiziğini anladıktan sonra uygun bir modellemeye gidebilir ve sonuçları yorumlayabilir. Kullanıcı aynı zamanda yarattığı modelin yükleme altında nasıl davranacağını öngörebilmelidir. Gerilme analizinde uzmanlaşmış olmak, örneğin manyetik alan problemlerinin çözümünde yeterli olmak anlamına gelmemektedir. Elde edilen çözümlerdeki yanlışlıklar yazılımdaki hatadan kaynaklansa bile sonuçların sorumluluğu programcıya değil, kullanıcıya aittir.

Statik analizde zaman bağımsız bir değişken olarak göz önüne alınmaz. Deformasyonların sabit ve yavaşça değiştiği kabul edilir. Bazı problemlerde titreşim frekansı çok düşük olabilmektedir (en düşük doğal frekansın 1/3'ünden daha küçük). Bu durumlarda problem "quasi-statik" olarak düşünülebilir. Yani atalet kuvvetleri hesaplanarak, bunlar sanki birer statik yükmüş gibi yapıya uygulanarak, yapı statik olarak analiz edilebilir [Engin, A. ve ark.2000].

• Rijitlik matrisi [K] her bir eleman için hesaplanır.
• Elemanlar birbirleriyle birleştirilerek, tüm sistem için global rijitlik [K] elde edilir.
• Yükler global yük vektöründe, [R], yerleştirilir.
• Mesnet koşulları uygulanır.
• Global denklem takımı [K] . [D]= [R], bilinmeyen [D] değerleri için çözülür.

Yapı problemlerinde [D] matrisi nodal deplasman değerlerini temsil etmektedir.

Sonuçları ([D] matrisini) kullanarak, örneğin gerilme değerlerini hesaplayınız.

 

Genel olarak rijitlik matrisi [K] bir eleman için aşağıdaki şekilde temsil edilebilir.

[K]= ( [B]^T [E] [B] dV

Burada [B] şekil değiştirme-deplasman matrisi, [E] sabitler matrisi olup, malzeme özelliklerini göstermektedir. dV ise elemanter hacim elemanıdır. Rijitlik matrisleri eleman tipine bağlı olarak, eleman deplasman alanını tarif eden şekil (shape functions) fonksiyonları kullanılarak her tip eleman için ayrı ayrı hesaplanabilirler (örneğin kaynaklar 16-18'e bakınız).

Eleman rijitlik matrisiyle, sistem global rijitlik matrisleri simetriktir. Bu durum yapıya etkiyen kuvvetler ile deformasyonlar arasında lineer ilişki olduğu sürece geçerlidir. Rijitlik matrislerinde diyagonal terimler daima pozitiftir. Diğer yandan bir yapı hiç mesnetlenmemiş veya uygun şekilde mesnetlenmemişse, rijidlik matrisinde tekillikler oluşur. Bıı durumda program [K] . [D] _ [R] denklemini nodal serbestlik dereceleri için çözemeyecektir. Matristeki tekillikleri önleyebilmek amacıyla tüm rijid cisim hareket serbestlikleri uygun şekilde engellenmelidir. Bu rijid hareket serbestlikleri yapı içerisinde deformasyon ve dolayısıyla gerilme yaratmayan hareket şekilleridir.

Yayılı yükler sonlu eleman programlarında "Kinematik Eşdeğer" nodal yüklerle değiştirilirler. Kinematik eşdeğer nodal yükler toplamda orijinal yüke eşit olup, herhangi bir noktaya göre orijinal yüklemeyle aynı moment değerini vermektedir. Kinematik eşdeğer olmayan nodal yüklemeler ise genelde "lumped" yükleme olarak adlandırılır ve genelde dönme serbestliğine sahip elemanlar için tercih edilmektedir.

 Bir yapı üzerine yapılan yükleme altında hareket edecektir. Eğer yükleme bir frekansa bağlı olarak değişiyor ve bu frekansta yapının doğal frekansının 1/3'den daha düşük ise problem statik problem olarak sınıflandırılabilir. Diğer yandan yükleme yüksek frekanslı veya rastgele olarak değişiyorsa veya yük aniden uygulanıyorsa, problem için dinamik analiz gerekmektedir. Dinamik analizde de statik analizde olduğu gibi rijitlik matrisi kullanılmakta, fakat bir kütle ve bir sönüm matrisine de analiz için gerek duyulmaktadır.

 En basit bir titreşim sistemi tek serbestlik dereceli bir yay-kütle sistemidir. Burada kütlenin hareketi yatay doğrultuda tek bir koordinatla tamamıyla tarif edilmiş olmaktadır. (Şekil xxx). Sistemin hareketi Newton'un 2. hareket kanunu ile tarif edilmektedir.

r – ku = mü veya ku + mü = r (4.7)

r – ku – cü = mü veya ku + cü + mü = r (4.8)

Burada m kütleyi, c ise sönüm katsayısını göstermektedir.

[K].[D] + [C].[D] + [M].[D] = [R] (4.9)

Bu denklemde [K] rijitlik matrisini, [C] sönüm matrisini, [M] kütle matrisini ve [R] kuvvet vektörünü temsil etmektedir. Bir dinamik analizde bilinmeyen [D] deplasman vektörünün, [ D ] hız vektörünün ve [ D ] ivme vektörünün hesaplanması istenmektedir.

Dinamik analizde tüm matris sisteminin çözümü yerine çok daha az sayıda serbestlik derecesi kullanılarak, yani daha küçük bir matrisle çözüm yapılabilir. Biz bu işleme matrisin indirgenmesi işlemi diyoruz. Bu şekilde dinamik analizler daha az bilgisayar kapasitesi ile gerçeklenebilir. Burada matriste kullanılacak aktif serbestlik derecelerinin seçimi özel bir önem kazanmaktadır. Bu serbestlik dereceleri genelde büyük deplasmanlı nodlardan seçilmesi uygun olacaktır. Çoğu ticari sonlu eleman programlarında bu serbestlik otomatik olarak seçilebilmekte ve "master" serbestlik dereceleri otomatik olarak isimlendirilmektedir. En yaygın olarak kullanılan indirgeme metodu Guyan metodudur. Master serbestlik dereceleri için aşağıdaki önerilere dikkat edilmelidir.

• master serbestlik derecelerinin seçimi yapının sadece bir bölgesinden değil, tüm bölgelerinden yapılmalıdır. Aksi halde bazı modlar iyi bazı modlar ise kötü olarak temsil edilecektir.

Dinamik yapı analiz, statik analize göre daha fazla çalışma gerektiren bir analiz türüdür. Yükleme zamanın bir fonksiyonudur. Dinamik analizde çeşitli metodlar aynı amaca ulaşılabileceği gibi, aynı model için değişik amaçlar için analizler gerçeklenebilir. Dinamik analizin diğer bir zorluğu da sonuçların kontrolü için gerekli adımlardan biri olan yapının davranışını mevcut şartlar altında kestirmektir (statik analiz için bu çok daha kolay şekilde yapılabilir). Diğer yandan yapı statik ve dinamik yükler altında oldukça farklı tepkiler verebilir.

İle çözümlenebilir. Genellikle böyle durumlarda dinamik yüke verilen tepki değeri, dinamik yükün genliğine sahip statik yükleme altında elde edilecek değerin %10’u daha fazladır. Eğer bir dinamik analiz yapılmasına karar verildiyse bazı sorulara cevap verilmesi gerekecektir. Bunlar şöyledir; "Analizin hedefı nedir ?", "Hangi basitleştirmeleri yapmak mümkündür?", "Malzeme ve geometrik non-lineerlikler hesaba alınmalı mıdır?", "Hangi frekans değerleri yüklemede göz önüne alınmalıdır?", "Hangi frekanslardaki tepkiler yapı için önemlidir?", "Hangi hesaplama yöntemleri problem için uygundur?".

 Öz değer problemi çözümleri için değişik çözüm metodları kullanılabilir. Bu metodlar uygulanabilirliği ve effektifliği açısından farklılıklar göstermektedir. Metodlar tüm modelin serbestlik derecesinin sayısı ve hesaplanması istenen mod sayısına göre değişiklikler göstermektedir. Genellikle çoğu problemlerde az sayıda modun ve bunlarla ilgili frekans değerlerinin hesaplanması pratik açıdan yeterlidir. Genellikle, yapının tüm modlarının %10'u yeterli olmaktadır.

Eğer yapı tamamıyla tespit edilmemişse [K] rijitlik matrisinde tekillikler oluşacak, bu sebeple de her bir rijid cisim titreşim modu için sıfır frekans değerleri elde edilmesine neden olacaktır. Böyle durumlarda programlar öz değerlerde kayma yaparak, hesaplamaya devam eder. Eğer kütle matrisinin köşegeninde sıfır değeri varsa, kütle matrisi [M]’ de tekillik olacak ve her bir sıfır kütle değeri için sonsuz frekans değeri bulunacaktır. Bu istenen bir durum değildir.

(4.10)

(4.11)

Burada

(4.12)

Galerkinin ısı difüzyon denklemi ele alındığında , x,y lineer koordinat sisteminde ifade edilen denklem (4.10) dört sonuç verir.